背包问题——01背包回溯
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题目

在01背包中,问题是这样的:一共有 N 件物品,第 i(i 从 1 开始)件物品的重量为 w [i],价值为 v [i]。在总重量不超过背包承载上限 W 的情况下,能够装入背包的最大价值是多少?

但现在我们不但需要知道能够装入背包的最大价值,并且需要具体知道是哪些物品呢?

例如背包容量为8,4件物品:

物品编号1234
物品体积2345
物品价值2456

根据状态方程我们可以得出:

背包容量为8时,背包所能装下的最大价值为10;//dp[4][8]

状态转移方程是是这样的:

装入第 i 件物品:dp [i][j]=v [i]+dp [i-1][j-w [i]];
不装第 i 件物品:dp [i][j]=dp [i-1][j];

那我们从dp[4][8]开始回溯,对于编号为4的物品,我们知道有装和没装两种情况,如果没有装,那么它的最大价值应该是等于前3和物品的最佳组合的最大价值,即dp[3][8],而现在dp[3][8]!=dp[4][8],很明显当前应该是装入了4号物品;此时剩下的体积为8-5=3;所以此时我们只考虑前3件物品在体积为3时的最大价值,也就是dp[3][3]=4;以此类推;3号物品没有被装入,2号物品被装入,1号物品没有被装入;

所以装入的是2号、4号物品,最大价值为10

回溯代码:

void solv(int x, int tv)//x为物品编号,tv为体积
{
	if (x==0||tv==0)
	{
		return ;
	}
	else
	{
		if (dp[x][tv]!=dp[x-1][tv])
		{
			cout << x << " ";//输出物品编号
			solv(x - 1, tv - v[x]);
		}
		else
		{
			solv(x - 1, tv);
		}
	}
}
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